অষ্টম শ্রেণীর জ্যামিতির সূত্রসমূহ।

অষ্টম শ্রেণীর বীজগণিত চতুর্থ অধ্যায় থেকে গুরুত্বপূর্ণ সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর দেওয়া।

জুনিয়র বৃত্তি পরীক্ষা '২৫

প্রশ্ন ১। $x+y=16$ এবং $x-y=4$ হলে, $(x^{2}+y^{2})$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x+y=16$ এবং $x-y=4$
আমরা জানি, $2(x^{2}+y^{2}) = (x+y)^{2} + (x-y)^{2}$

বা, $2(x^{2}+y^{2}) = (16)^{2} + (4)^{2}$

বা, $2(x^{2}+y^{2}) = 256 + 16$

বা, $2(x^{2}+y^{2}) = 272$

বা, $x^{2}+y^{2} = \frac{272}{2}$

বা, $x^{2}+y^{2} = 136$

নির্ণেয় মান: 136

প্রশ্ন ২। $a+b=\frac{1}{8}$ এবং $a-b=16$ হলে, $a^{2}-b^{2}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a+b=\frac{1}{8}$ এবং $a-b=16$
প্রদত্ত রাশি $= a^{2}-b^{2}$

$= (a+b)(a-b)$

$= \frac{1}{8} \times 16 = 2$

নির্ণেয় মান: 2

প্রশ্ন ৩。 $x-\frac{1}{x}=4$ হলে, $(x+\frac{1}{x})^{2}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x-\frac{1}{x}=4$
প্রদত্ত রাশি $= (x+\frac{1}{x})^{2}$

$= (x-\frac{1}{x})^{2} + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

$= 4^{2} + 4 = 16 + 4 = 20$

নির্ণেয় মান: 20

প্রশ্ন ৪। $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=4$ হলে, $x-\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=4$

বা, $(x-\frac{1}{x})^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 4$

বা, $(x-\frac{1}{x})^{2} + 2 = 4$

বা, $(x-\frac{1}{x})^{2} = 4 - 2$

বা, $(x-\frac{1}{x})^{2} = 2$

বা, $x-\frac{1}{x} = \sqrt{2}$ (উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে)

নির্ণেয় মান: $\sqrt{2}$

প্রশ্ন ৫। $(2a+\frac{2}{a})^{2}=12$ হলে, $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$ এর মান নির্ণয় করো。

সমাধান:

দেওয়া আছে, $(2a+\frac{2}{a})^{2}=12$

বা, $\{2(a+\frac{1}{a})\}^{2} = 12$

বা, $4(a+\frac{1}{a})^{2} = 12$

বা, $(a+\frac{1}{a})^{2} = \frac{12}{4} = 3$

বা, $a^{2} + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}} = 3$

বা, $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} + 2 = 3$

বা, $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 3 - 2 = 1$

নির্ণেয় মান: 1

প্রশ্ন ৬। যদি $a+b=\sqrt{5}$ এবং $a^{2}-b^{2}=\sqrt{15}$ হয়, তবে $10ab$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a+b=\sqrt{5}$ এবং $a^{2}-b^{2}=\sqrt{15}$
আমরা জানি, $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$

বা, $\sqrt{15} = \sqrt{5}(a-b)$

বা, $a-b = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{3}$

এখন, প্রদত্ত রাশি $= 10ab$

$= 10 \times \{(\frac{a+b}{2})^{2} - (\frac{a-b}{2})^{2}\}$

$= 10 \times \{(\frac{\sqrt{5}}{2})^{2} - (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}\}$

$= 10 \times (\frac{5}{4} - \frac{3}{4}) = 10 \times (\frac{5-3}{4})$

$= 10 \times \frac{2}{4} = 5$

নির্ণেয় মান: 5

প্রশ্ন ৭। $x^{2}-2x+1=0$ হলে, $x+\frac{1}{x}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x^{2}-2x+1=0$

বা, $x^{2}+1 = 2x$

বা, $\frac{x^{2}+1}{x} = \frac{2x}{x}$ (উভয়পক্ষকে $x$ দ্বারা ভাগ করে)

বা, $\frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = 2$

বা, $x+\frac{1}{x} = 2$

নির্ণেয় মান: 2

প্রশ্ন ৮। $-2x-y$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$-2x-y$ এর বর্গ $= (-2x-y)^{2}$

$= \{-(2x+y)\}^{2}$

$= (2x+y)^{2}$

$= (2x)^{2} + 2 \cdot 2x \cdot y + y^{2}$

$= 4x^{2} + 4xy + y^{2}$

নির্ণেয় বর্গ: $4x^{2} + 4xy + y^{2}$

প্রশ্ন ৯। $x-\frac{1}{x}=2\sqrt{3}$ হলে, $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x-\frac{1}{x}=2\sqrt{3}$

বা, $(x-\frac{1}{x})^{2} = (2\sqrt{3})^{2}$ (বর্গ করে)

বা, $x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 4 \times 3$

বা, $x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} = 12 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 14$

বা, $(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2} = 14^{2}$ (পুনরায় বর্গ করে)

বা, $x^{4} + 2 \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}} = 196$

বা, $x^{4} + 2 + \frac{1}{x^{4}} = 196 \Rightarrow x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = 194$

নির্ণেয় মান: 194

প্রশ্ন ১০। $a-\frac{1}{a}=5$ হলে, $(a+\frac{1}{a})^{2}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a-\frac{1}{a}=5$
প্রদত্ত রাশি $= (a+\frac{1}{a})^{2}$

$= (a-\frac{1}{a})^{2} + 4 \cdot a \cdot \frac{1}{a}$

$= 5^{2} + 4 = 25 + 4 = 29$

নির্ণেয় মান: 29

প্রশ্ন ১১। $a^{2}-2a+1=0$ হলে, $a-\frac{1}{a}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a^{2}-2a+1=0$

বা, $(a-1)^{2} = 0 \Rightarrow a-1 = 0 \Rightarrow a = 1$

এখন, $a-\frac{1}{a} = 1 - \frac{1}{1} = 1 - 1 = 0$

নির্ণেয় মান: 0

প্রশ্ন ১২। $(1+\frac{1}{a})\div(1-\frac{1}{a^{2}})$ এর সরলমান নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= (1+\frac{1}{a})\div(1-\frac{1}{a^{2}})$

$= (\frac{a+1}{a}) \div \{1^{2} - (\frac{1}{a})^{2}\}$

$= (\frac{a+1}{a}) \div \{(1+\frac{1}{a})(1-\frac{1}{a})\}$

$= \frac{1}{1-\frac{1}{a}} = \frac{1}{\frac{a-1}{a}} = \frac{a}{a-1}$

নির্ণেয় সরলমান: $\frac{a}{a-1}$

প্রশ্ন ১৩। $x-\frac{1}{x}=3$ হলে, $x+\frac{1}{x}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x-\frac{1}{x}=3$
আমরা জানি, $(x+\frac{1}{x})^{2} = (x-\frac{1}{x})^{2} + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

বা, $(x+\frac{1}{x})^{2} = 3^{2} + 4 = 9 + 4 = 13$

বা, $x+\frac{1}{x} = \sqrt{13}$ (বর্গমূল করে)

নির্ণেয় মান: $\sqrt{13}$

প্রশ্ন ১৪। $x^{2}-5x-2=0$ হলে, $x+\frac{2}{x}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x^{2}-5x-2=0$

বা, $x^{2}-2 = 5x \Rightarrow \frac{x^{2}-2}{x} = 5 \Rightarrow x-\frac{2}{x} = 5$

বা, $(x-\frac{2}{x})^{2} = 5^{2}$ (উভয়পক্ষকে বর্গ করে)

বা, $(x+\frac{2}{x})^{2} - 4 \cdot x \cdot \frac{2}{x} = 25$

বা, $(x+\frac{2}{x})^{2} - 8 = 25 \Rightarrow (x+\frac{2}{x})^{2} = 33$

বা, $x+\frac{2}{x} = \sqrt{33}$

নির্ণেয় মান: $\sqrt{33}$

প্রশ্ন ১৫। $a+b=7$ এবং $a-b=3$ হলে, $ab$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a+b=7$ এবং $a-b=3$
우রা জানি, $ab = (\frac{a+b}{2})^{2} - (\frac{a-b}{2})^{2}$

$= (\frac{7}{2})^{2} - (\frac{3}{2})^{2} = \frac{49}{4} - \frac{9}{4}$

$= \frac{49-9}{4} = \frac{40}{4} = 10$

নির্ণেয় মান: 10

প্রশ্ন ১৬। $x-\frac{4}{x}=5$ হলে, $\frac{18}{x^{2}-5x+2}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x-\frac{4}{x}=5 \Rightarrow \frac{x^{2}-4}{x} = 5 \Rightarrow x^{2}-5x = 4$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{18}{x^{2}-5x+2}$

$= \frac{18}{4+2} = \frac{18}{6} = 3$ (মান বসিয়ে)

নির্ণেয় মান: 3

প্রশ্ন ১৭। বর্গ কাকে বলে? উত্তর: কোন সংখ্যা বা রাশিকে ঐ সংখ্যা বা রাশি দ্বারা গুণ করলে যা পাওয়া যায় তাকে ঐ সংখ্যা বা রাশির বর্গ বলে।

প্রশ্ন ১৮। $x+\frac{1}{x}=5$ হলে, $(x-\frac{1}{x})^{2}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x+\frac{1}{x}=5$
প্রদত্ত রাশি $= (x-\frac{1}{x})^{2}$

$= (x+\frac{1}{x})^{2} - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

$= 5^{2} - 4 = 25 - 4 = 21$

নির্ণেয় মান: 21

প্রশ্ন ১৯। $a+b=\sqrt{7}$ এবং $a-b=\sqrt{5}$ হলে, $4ab$ এর মান বের করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a+b=\sqrt{7}$ এবং $a-b=\sqrt{5}$
প্রদত্ত রাশি $= 4ab$

$= (a+b)^{2} - (a-b)^{2}$

$= (\sqrt{7})^{2} - (\sqrt{5})^{2} = 7 - 5 = 2$

নির্ণেয় মান: 2

প্রশ্ন ২০। $x-\frac{1}{x}=6$ হলে, $(x+\frac{1}{x})^{2}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x-\frac{1}{x}=6$
প্রদত্ত রাশি $= (x+\frac{1}{x})^{2}$

$= (x-\frac{1}{x})^{2} + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

$= 6^{2} + 4 = 36 + 4 = 40$

নির্ণেয় মান: 40

প্রশ্ন ২১। $a+b=\sqrt{3}$ এবং $a-b=\sqrt{2}$ হলে, $ab$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a+b=\sqrt{3}$ এবং $a-b=\sqrt{2}$
প্রদত্ত রাশি $= ab$

$= (\frac{a+b}{2})^{2} - (\frac{a-b}{2})^{2}$

$= (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} - (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$

নির্ণেয় মান: $\frac{1}{4}$

প্রশ্ন ২২। $p-q=12$ এবং $pq=20$ হলে, $p^{2}+q^{2}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $p-q=12$ এবং $pq=20$
প্রদত্ত রাশি $= p^{2}+q^{2}$

$= (p-q)^{2} + 2pq$

$= 12^{2} + 2(20) = 144 + 40 = 184$

নির্ণেয় মান: 184

প্রশ্ন ২৩। সরল করো: $(8a+b)^{2}-(16a+2b)(5a+b)+(5a+b)^{2}$

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= (8a+b)^{2}-2(8a+b)(5a+b)+(5a+b)^{2}$
ধরি, $8a+b=x$ এবং $5a+b=y$
রাশিটি দাঁড়ায় $= x^{2}-2xy+y^{2} = (x-y)^{2}$

$= \{(8a+b) - (5a+b)\}^{2}$ (মান বসিয়ে)

$= (8a+b-5a-b)^{2} = (3a)^{2} = 9a^{2}$

নির্ণেয় সরলমান: $9a^{2}$

প্রশ্ন ২৪। $A=2x^{2}+3x-2$ হলে, $A$ এর বর্গ নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $A=2x^{2}+3x-2$
$A$ এর বর্গ $= (2x^{2}+3x-2)^{2} = \{(2x^{2}+3x)-2\}^{2}$

$= (2x^{2}+3x)^{2} - 2(2x^{2}+3x)\cdot 2 + 2^{2}$

$= \{(2x^{2})^{2} + 2 \cdot 2x^{2} \cdot 3x + (3x)^{2}\} - 8x^{2} - 12x + 4$

$= 4x^{4} + 12x^{3} + 9x^{2} - 8x^{2} - 12x + 4$

$= 4x^{4} + 12x^{3} + x^{2} - 12x + 4$

নির্ণেয় বর্গ: $4x^{4} + 12x^{3} + x^{2} - 12x + 4$

প্রশ্ন ২৫। $m^{2}+1=2m$ হলে, দেখাও যে, $\frac{m^{4}+1}{m^{4}}=2$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $m^{2}+1=2m \Rightarrow \frac{m^{2}+1}{m}=2 \Rightarrow m+\frac{1}{m}=2$
বর্গ করে পাই, $(m+\frac{1}{m})^{2} = 2^{2} \Rightarrow m^{2}+\frac{1}{m^{2}}+2=4 \Rightarrow m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=2$
পুনরায় বর্গ করে, $(m^{2}+\frac{1}{m^{2}})^{2} = 2^{2} \Rightarrow m^{4}+\frac{1}{m^{4}}+2=4 \Rightarrow m^{4}+\frac{1}{m^{4}}=2$
বামপক্ষ $= \frac{m^{4}+1}{m^{4}} = \frac{m^{4}}{m^{4}} + \frac{1}{m^{4}} = 1 + \frac{1}{m^{4}}$ (অথবা $m=1$ বসিয়ে পাই)

$= \frac{1^{4}+1}{1^{4}} = \frac{1+1}{1} = 2 =$ ডানপক্ষ

(দেখানো হলো)

প্রশ্ন ২৬। $-3y^{2}=1-y^{4}$ হলে, $y^{4}+\frac{1}{y^{4}}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $-3y^{2}=1-y^{4} \Rightarrow y^{4}-1=3y^{2} \Rightarrow \frac{y^{4}-1}{y^{2}}=3 \Rightarrow y^{2}-\frac{1}{y^{2}}=3$
প্রদত্ত রাশি $= y^{4}+\frac{1}{y^{4}} = (y^{2})^{2} + (\frac{1}{y^{2}})^{2}$

$= (y^{2} - \frac{1}{y^{2}})^{2} + 2 \cdot y^{2} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

$= 3^{2} + 2 = 9 + 2 = 11$

নির্ণেয় মান: 11

প্রশ্ন ২৭। $2x+\frac{1}{3x}=5$ হলে, $9x^{2}+\frac{1}{4x^{2}}=?$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $2x+\frac{1}{3x}=5$
উভয়পক্ষকে $\frac{3}{2}$ দ্বারা গুণ করে পাই: $3x + \frac{1}{2x} = \frac{15}{2}$
প্রদত্ত রাশি $= 9x^{2}+\frac{1}{4x^{2}} = (3x)^{2} + (\frac{1}{2x})^{2}$

$= (3x + \frac{1}{2x})^{2} - 2 \cdot 3x \cdot \frac{1}{2x}$

$= (\frac{15}{2})^{2} - 3 = \frac{225}{4} - 3 = \frac{225-12}{4} = \frac{213}{4}$

নির্ণেয় মান: $\frac{213}{4}$

প্রশ্ন ২৮। $x+\frac{1}{x}=2$ হলে, $x^{32}+\frac{1}{x^{12}}=?$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x+\frac{1}{x}=2 \Rightarrow \frac{x^{2}+1}{x}=2 \Rightarrow x^{2}-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^{2}=0 \Rightarrow x=1$
প্রদত্ত রাশি $= x^{32}+\frac{1}{x^{12}}$

$= (1)^{32} + \frac{1}{(1)^{12}} = 1 + \frac{1}{1} = 2$

নির্ণেয় মান: 2

প্রশ্ন ২৯। $x^{2}-\sqrt{3}x+1=0$ হলে, $x+\frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x^{2}-\sqrt{3}x+1=0$

বা, $x^{2}+1 = \sqrt{3}x \Rightarrow \frac{x^{2}+1}{x} = \sqrt{3} \Rightarrow x+\frac{1}{x} = \sqrt{3}$

নির্ণেয় মান: $\sqrt{3}$

প্রশ্ন ৩০। $a^{2}-2a+1=0$ হলে, $a+\frac{1}{a}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a^{2}-2a+1=0 \Rightarrow (a-1)^{2}=0 \Rightarrow a=1$

অতএব, $a+\frac{1}{a} = 1 + \frac{1}{1} = 2$

নির্ণেয় মান: 2

প্রশ্ন ৩১। $x^{4}-3x^{2}=1$ হলে, $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x^{4}-3x^{2}=1 \Rightarrow \frac{x^{4}-1}{x^{2}}=3 \Rightarrow x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=3$
প্রদত্ত রাশি $= x^{4}+\frac{1}{x^{4}} = (x^{2})^{2} + (\frac{1}{x^{2}})^{2}$

$= (x^{2} - \frac{1}{x^{2}})^{2} + 2 \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

$= 3^{2} + 2 = 9 + 2 = 11$

নির্ণেয় মান: 11

প্রশ্ন ৩২। $x+y=12$ এবং $xy=27$ হলে, $x-y$ এর মান নির্ণয় করো যেখানে $x > y$।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x+y=12$ এবং $xy=27$
আমরা জানি, $(x-y)^{2} = (x+y)^{2} - 4xy$

বা, $(x-y)^{2} = 12^{2} - 4(27) = 144 - 108 = 36$

বা, $x-y = \pm\sqrt{36} = \pm 6$

যেহেতু শর্তানুযায়ী $x > y$, তাই মানটি ধনাত্মক হবে।

নির্ণেয় মান: 6

প্রশ্ন ৩৩। $p+q=7$ এবং $pq=9$ হলে, $p^{2}+q^{2}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $p+q=7$ এবং $pq=9$
প্রদত্ত রাশি $= p^{2}+q^{2}$

$= (p+q)^{2} - 2pq$

$= 7^{2} - 2(9) = 49 - 18 = 31$

নির্ণেয় মান: 31

প্রশ্ন ৩৪। (মূল ফাইলের ক্রম অনুযায়ী এই নম্বরের প্রশ্নটি অনুপস্থিত ছিল)

প্রশ্ন ৩৫। সূত্রের সাহায্যে $(7x+8)$ কে $(7x-8)$ দ্বারা গুণ করো।

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি $= (7x+8)(7x-8)$

$= (7x)^{2} - (8)^{2}$ [(a+b)(a-b) = a²-b²]

$= 49x^{2} - 64$

নির্ণেয় গুণফল: $49x^{2} - 64$

প্রশ্ন ৩৬। $m-\frac{1}{m}=4$ হলে, $m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $m-\frac{1}{m}=4$
প্রদত্ত রাশি $= m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$

$= (m-\frac{1}{m})^{2} + 2 \cdot m \cdot \frac{1}{m}$

$= 4^{2} + 2 = 16 + 2 = 18$

নির্ণেয় মান: 18

প্রশ্ন ৩৭। $x+\frac{1}{x}=5$ হলে, $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x+\frac{1}{x}=5 \Rightarrow (x+\frac{1}{x})^{2}=5^{2} \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=25 \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=23$
পুনরায় বর্গ করে পাই:

$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2} = 23^{2} \Rightarrow x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2=529$

বা, $x^{4}+\frac{1}{x^{4}} = 529 - 2 = 527$

নির্ণেয় মান: 527

প্রশ্ন ৩৮। $a+b=7$ এবং $a-b=3$ হলে, $a^{2}+b^{2}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a+b=7$ এবং $a-b=3$
আমরা জানি, $2(a^{2}+b^{2}) = (a+b)^{2} + (a-b)^{2}$

বা, $2(a^{2}+b^{2}) = 7^{2} + 3^{2} = 49 + 9 = 58$

বা, $a^{2}+b^{2} = \frac{58}{2} = 29$

নির্ণেয় মান: 29

প্রশ্ন ৩৯। $x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$ হলে, $(x-\frac{1}{x})^{2}$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$
প্রদত্ত রাশি $= (x-\frac{1}{x})^{2}$

$= (x+\frac{1}{x})^{2} - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

$= (\sqrt{5})^{2} - 4 = 5 - 4 = 1$

নির্ণেয় মান: 1

প্রশ্ন ৪০। $a^{2}-4a+1=0$ হলে, $(a-\frac{1}{a})^{2}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a^{2}-4a+1=0 \Rightarrow a^{2}+1=4a \Rightarrow \frac{a^{2}+1}{a}=4 \Rightarrow a+\frac{1}{a}=4$
প্রদত্ত রাশি $= (a-\frac{1}{a})^{2}$

$= (a+\frac{1}{a})^{2} - 4 \cdot a \cdot \frac{1}{a}$

$= 4^{2} - 4 = 16 - 4 = 12$

নির্ণেয় মান: 12

প্রশ্ন ৪১। $x+y=14$ এবং $x-y=4$ হলে, $2(x^{2}+y^{2})$ এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x+y=14$ এবং $x-y=4$
প্রদত্ত রাশি $= 2(x^{2}+y^{2})$

$= (x+y)^{2} + (x-y)^{2}$

$= (14)^{2} + (4)^{2} = 196 + 16 = 212$

নির্ণেয় মান: 212

প্রশ্ন ৪২। $a+b=2\sqrt{3}$ এবং $a-b=2\sqrt{2}$ হলে, $4ab$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a+b=2\sqrt{3}$ এবং $a-b=2\sqrt{2}$
প্রদত্ত রাশি $= 4ab$

$= (a+b)^{2} - (a-b)^{2}$

$= (2\sqrt{3})^{2} - (2\sqrt{2})^{2} = (4 \times 3) - (4 \times 2) = 12 - 8 = 4$

নির্ণেয় মান: 4

প্রশ্ন ৪৩। $m^{4}+\frac{1}{m^{4}}=119$ হলে, $m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $m^{4}+\frac{1}{m^{4}}=119 \Rightarrow (m^{2}+\frac{1}{m^{2}})^{2} - 2 = 119$

বা, $(m^{2}+\frac{1}{m^{2}})^{2} = 119 + 2 = 121$

বা, $m^{2}+\frac{1}{m^{2}} = \sqrt{121} = 11$

নির্ণেয় মান: 11

প্রশ্ন ৪৪। $a+b=9$ এবং $a-b=5$ হলে, $ab$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a+b=9$ এবং $a-b=5$
আমরা জানি, $ab = (\frac{a+b}{2})^{2} - (\frac{a-b}{2})^{2}$

$= (\frac{9}{2})^{2} - (\frac{5}{2})^{2} = \frac{81}{4} - \frac{25}{4}$

$= \frac{81-25}{4} = \frac{56}{4} = 14$

নির্ণেয় মান: 14

প্রশ্ন ৪৫। $(x+y)^{2}=16$ এবং $(x-y)^{2}=9$ হলে, $2(x^{2}-y^{2})$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $(x+y)^{2}=16 \Rightarrow x+y = 4$ এবং $(x-y)^{2}=9 \Rightarrow x-y = 3$
প্রদত্ত রাশি $= 2(x^{2}-y^{2})$

$= 2(x+y)(x-y)$

$= 2 \times 4 \times 3 = 24$

নির্ণেয় মান: 24

প্রশ্ন ৪৬। $a^{2}+1=4a$ হলে, $\frac{a}{a^{2}-3a+1}$ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, $a^{2}+1=4a$
প্রদত্ত রাশি $= \frac{a}{a^{2}-3a+1} = \frac{a}{(a^{2}+1)-3a}$

$= \frac{a}{4a-3a} = \frac{a}{a} = 1$ (মান বসিয়ে)

নির্ণেয় মান: 1

প্রশ্ন ৪৭। $x+\frac{1}{x}=2$ হলে, দেখাও যে, $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=2$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x+\frac{1}{x}=2 \Rightarrow (x+\frac{1}{x})^{2}=2^{2} \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=2$
পুনরায় বর্গ করে পাই, $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2} = 2^{2}$

বা, $x^{4} + 2 \cdot x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}} = 4$

বা, $x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = 4 - 2 = 2$

অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)