ইতনা মাধ্যমিক বিদ্যালয় ও কলেজের দ্বাদশ শ্রেণীর নির্বাচনী পরীক্ষার (২০২৬) খসড়া সময়সূচী।

অনুশীলনী ৩.১ — সম্পূর্ণ সমাধান

১। সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর:

(ক) 2a + 3b

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + 2xy + y²

এখানে,
x = 2a
y = 3b

অতএব,
(2a + 3b)²
= (2a)² + 2×2a×3b + (3b)²
= 4a² + 12ab + 9b²

উত্তর: 4a² + 12ab + 9b²

(খ) x² + 2/y²

সূত্র অনুযায়ী,
(x + y)² = x² + 2xy + y²

এখানে,
x = x²
y = 2/y²

(x² + 2/y²)²
= (x²)² + 2×x²×(2/y²) + (2/y²)²
= x⁴ + 4x²/y² + 4/y⁴

উত্তর: x⁴ + 4x²/y² + 4/y⁴

(গ) 4y − 5x

আমরা জানি,
(x − y)² = x² − 2xy + y²

এখানে,
x = 4y
y = 5x

(4y − 5x)²
= (4y)² − 2×4y×5x + (5x)²
= 16y² − 40xy + 25x²

উত্তর: 16y² − 40xy + 25x²

২। সরল কর:

(ক)

দেওয়া আছে,
(7p + 3q − 5r)² − 2(7p + 3q − 5r)(8p − 4q − 5r) + (8p − 4q − 5r)²

আমরা জানি,
a² − 2ab + b² = (a − b)²

এখানে,
a = 7p + 3q − 5r
b = 8p − 4q − 5r

অতএব,
= (a − b)²
= (7p + 3q − 5r − 8p + 4q + 5r)²
= (−p + 7q)²
= p² − 14pq + 49q²

উত্তর: p² − 14pq + 49q²

(গ)

দেওয়া আছে,
6.35×6.35 + 2×6.35×3.65 + 3.65×3.65

আমরা জানি,
x² + 2xy + y² = (x + y)²

এখানে,
x = 6.35
y = 3.65

অতএব,
= (6.35 + 3.65)²
= 10²
= 100

উত্তর: 100

৩। a − b = 4 এবং ab = 60 হলে a + b এর মান নির্ণয় কর

দেওয়া আছে,
a − b = 4
ab = 60

আমরা জানি,
(a + b)² = (a − b)² + 4ab

মান বসিয়ে পাই,
(a + b)² = 4² + 4×60
= 16 + 240
= 256

অতএব,
a + b = √256 = 16

৫। x − 1/x = 4 হলে প্রমাণ কর যে x⁴ + 1/x⁴ = 322

দেওয়া আছে,
x − 1/x = 4

উভয় পাশে বর্গ করলে,
(x − 1/x)² = 16

⇒ x² − 2 + 1/x² = 16
⇒ x² + 1/x² = 18

আবার উভয় পাশে বর্গ করলে,
(x² + 1/x²)² = 18² = 324

⇒ x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 324
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 324 − 2
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 322

প্রমাণিত

৬। 2x + 2/x = 3 হলে, x² + 1/x² এর মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে,
2x + 2/x = 3

উভয় পাশে বর্গ করি,
(2x + 2/x)² = 3²
⇒ 4x² + 8 + 4/x² = 9

এখন উভয় পাশকে 4 দ্বারা ভাগ করি,
⇒ x² + 2 + 1/x² = 9/4

⇒ x² + 1/x² = 9/4 − 2
⇒ x² + 1/x² = 9/4 − 8/4
⇒ x² + 1/x² = 1/4

উত্তর: x² + 1/x² = 1/4

৭। a + 1/a = 2 হলে, প্রমাণ কর যে a² + 1/a² = a⁴ + 1/a⁴

দেওয়া আছে,
a + 1/a = 2

উভয় পাশে বর্গ করি,
(a + 1/a)² = 4
⇒ a² + 2 + 1/a² = 4

⇒ a² + 1/a² = 2 ...(১)

আবার (১) নং সমীকরণের উভয় পাশে বর্গ করি,
(a² + 1/a²)² = 2²
⇒ a⁴ + 2 + 1/a⁴ = 4

⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 2 ...(২)

(১) ও (২) থেকে পাই,
a² + 1/a² = a⁴ + 1/a⁴

প্রমাণিত

৮। a + b = √7 এবং a − b = √5 হলে, প্রমাণ কর যে 8ab(a² + b²) = 24

দেওয়া আছে,
a + b = √7
a − b = √5

উভয় সমীকরণ বর্গ করি,
(a + b)² = 7 ⇒ a² + 2ab + b² = 7 ...(১)
(a − b)² = 5 ⇒ a² − 2ab + b² = 5 ...(২)

(১) ও (২) যোগ করে পাই,
2a² + 2b² = 12
⇒ a² + b² = 6

(১) ও (২) বিয়োগ করে পাই,
4ab = 2
⇒ ab = 1/2

এখন,
8ab(a² + b²)
= 8 × 1/2 × 6
= 24

প্রমাণিত

৯। a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 31 হলে, a² + b² + c² এর মান নির্ণয় কর।

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

মান বসিয়ে পাই,
9² = a² + b² + c² + 2×31
⇒ 81 = a² + b² + c² + 62

⇒ a² + b² + c² = 81 − 62
⇒ a² + b² + c² = 19

উত্তর: 19

১০। a² + b² + c² = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে, (a + b + c)² এর মান নির্ণয় কর।

সূত্র অনুযায়ী,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

মান বসিয়ে পাই,
= 9 + 2×8
= 9 + 16
= 25

উত্তর: 25

১১। a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 হলে, (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² এর মান নির্ণয় কর।

আমরা জানি,
(a − b)² + (b − c)² + (c − a)²
= 2(a² + b² + c² − ab − bc − ca)

প্রথমে ab + bc + ca নির্ণয় করি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 36 = 14 + 2(ab + bc + ca)

⇒ 2(ab + bc + ca) = 22
⇒ ab + bc + ca = 11

এখন মূল মান বসিয়ে পাই,
= 2(14 − 11)
= 2×3
= 6

উত্তর: 6

১২। x = 3, y = 4, z = 5 হলে, 9x² + 16y² + 4z² − 24xy − 16yz + 12zx এর মান নির্ণয় কর।

প্রথমে মান বসাই,
= 9×3² + 16×4² + 4×5² − 24×3×4 − 16×4×5 + 12×5×3

= 81 + 256 + 100 − 288 − 320 + 180

= 437 − 608 + 180
= 9

উত্তর: 9

দুইটি বর্গের বিয়োগফল

সূত্র: \[ xy=\left(\frac{x+y}{2}\right)^2-\left(\frac{x-y}{2}\right)^2 \]

১৩। \((a+2b)(3a+2c)\) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।

প্রদত্ত রাশি,
\[ (a+2b)(3a+2c) \] ধরি,
\(x=a+2b\)
\(y=3a+2c\)

সূত্র অনুযায়ী,
\[ xy=\left(\frac{x+y}{2}\right)^2-\left(\frac{x-y}{2}\right)^2 \] এখন,
\[ x+y=4a+2b+2c \] \[ x-y=-2a+2b-2c \] অতএব,
\[ (a+2b)(3a+2c) =\left(\frac{4a+2b+2c}{2}\right)^2 -\left(\frac{-2a+2b-2c}{2}\right)^2 \] \[ =(2a+b+c)^2-(a-b+c)^2 \] উত্তর: \[ (2a+b+c)^2-(a-b+c)^2 \]

১৪। \(x^2+10x+24\) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।

প্রদত্ত রাশি,
\[ x^2+10x+24 \] পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করি,
\[ =x^2+10x+25-1 \] \[ =(x+5)^2-1^2 \] উত্তর: \[ (x+5)^2-1^2 \]

১৫। a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 হলে, (ক) a² + b² এবং (খ) ab এর মান নির্ণয় কর।

আমরা জানি,
(a² + ab + b²)² = a⁴ + a²b² + b⁴ + 2ab(a² + b²)

মান বসিয়ে পাই,
4² = 8 + 2ab(a² + b²)
⇒ 16 = 8 + 2ab(a² + b²)

⇒ 2ab(a² + b²) = 8 ...(১)

আবার,
a² + ab + b² = 4
⇒ a² + b² = 4 − ab ...(২)

(১) ও (২) সমাধান করে পাই,
(ক) a² + b² = 3
(খ) ab = 1