নবম-দশম শ্রেণীর অনুশীলনী ৩.৩: উৎপাদক অংকের সমাধান নিচে দেওয়া হল।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর (১-৩০):
প্রশ্ন ১. ab (x-y)-bc(x-y)
সমাধান: ab(x-y)-bc(x-y) -(x-y)(ab-bc) =(x-y)b(a-c)=b(x-y)(a-c)
প্রশ্ন ২. 9x²+24x+16
সমাধান: 9x²+24x+16 =(3x+4)(3x+4)=(3x+4)² -9x²+12x+12x+16 =3x(3x+4)+4(3x+4)
প্রশ্ন ৩. a⁴-27a²+1
সমাধান: a⁴-27a²+1 =(a²)²-2.a².1+(1)²-25a² =(a²-1)²-(5a)² =(a²-1+5a)(a²-1-5a) -(a²+5a-1)(a²-5a-1)
প্রশ্ন ৪. x⁴-6x²y²+y⁴
সমাধান: x⁴-6x²y²+y⁴ =(x²)²-2.x².y²+(y²)²-4x²y² =(x²-y²-2xy)(x²-y²-2xy) =(x²+2xy-y²)(x²-2xy-y²) =(x²-y²)²-(2xy)²
প্রশ্ন ৫. (a²-b²) (x²-y²) + 4abxy
সমাধান: (a²-b²) (x²-y²) + 4abxy = a²x²-a²y²-b²x²+b²y² + 2abxy + 2abxy =(ax)²+2abxy + (by)² - (ay)² + 2abxy - (bx)² ={(ax)²+2.ax.by+(by)²}-{(ay)²-2.ay.bx+(bx)²} =(ax+by)²-(ay-bx)² =(ax+by+ay-bx)(ax+by-ay+bx)
প্রশ্ন ৬ 4a²-12ab+9b²-4c²
সমাধান: 4a²-12ab+9b²-4c² =(2a)²-2.2a.3b+(3b)²-4c² =(2a-3b)²-(2c)²=(2a-3b+2c)(2a-3b-2c)
প্রশ্ন ৭ a²+6a+8-y²+2y
সমাধান: a²+6a+8-y²+2y =a²+2.a.3+3²-y²+2y-1 =(a+3+y-1)(a+3-y+1) =(a+3)²-(y²-2.y.1+1²) =(a+y+2)(a-y+4) -(a+3)²-(y-1)²
প্রশ্ন ৮ 16x²-25y²-8xz+10yz
সমাধান: 16x²-25y²-8xz+10yz =(4x+5y)(4x-5y)-2z(4x-5y) (4x)²-(5y)²-2x(4x-5y) =(4x-5y)(4x+5y-2z)
প্রশ্ন ৯ x²+13x+36
সমাধান: x²+13x+36 =x²+9x+4x+36 =x(x+9)+4(x+9)=(x+9)(x+4).
প্রশ্ন ১০ x⁴+x²-20
সমাধান: x⁴+x²-20 =x⁴+5x²-4x²-20 =x²(x²+5)-4(x²+5) =(x²+5)(x²-4) =(x²+5)(x²-2²)=(x²+5)(x+2)(x-2)
প্রশ্ন ১১ a²-30a+216
সমাধান: a²-30a+216 =a(a-18)-12(a-18)=(a-18)(a-12) =a²-18a-12a+216
প্রশ্ন ১২ a³-a⁴-2
সমাধান: a³-a⁴-2 =a⁴(a⁴-2)+1(a⁴-2)=(a⁴-2)(a⁴+1) =a³-2a⁴+a⁴-2
প্রশ্ন ১৩ x²-37x-650
সমাধান: x²-37x-650 =x²-50x+13x-650 =x(x-50)+13(x-50)=(x-50)(x+13)
প্রশ্ন ১৪ 9x²y²-5xy²-14y²
সমাধান 9x²y²-5xy²-14y² =9x²y²+9xy²-14xy²-14y² =9xy²(x+1)-14y²(x+1) =(x+1)(9xy²-14y²)=y²(9x-14)(x+1)
প্রশ্ন ১৫ 4x⁴-27x²-81
সমাধান: 4x⁴-27x²-81 =4x⁴-36x²+9x²-81 =4x²(x²-9)+9(x²-9) =(x²-9)(4x²+9) =(x²-3²)(4x²+9)=(x+3)(x-3)(4x²+9)
প্রশ্ন ১৬ ax²+(a²+1)x+a
সমাধান: ax²+(a²+1)x+a =ax²+a²x+x+a=ax(x+a)+1(x+a)=(x+a)(ax+1)
প্রশ্ন ১৭ 3(a²+2a)²-22(a²+2a)+40
সমাধান: 3(a²+2a)²-22(a²+2a)+40 =3x²-22x+40 [a²+2a=x ধরে] =3x²-10x-12x+40 =x(3x-10)-4(3x-10) =(3x-10)(x-4) =(3(a²+2a)-10)(a²+2a-4) =(3a²+6a-10)(a²+2a-4)
প্রশ্ন ১৮. সমাধান: $(a-1)x^{2}+a^{2}xy+(a+1)y^{2}$
ধরি, $a-1=p$
এবং $a+1=q$
$(a-1)(a+1)=pq$
বা, $a^{2}-1=pq$
বা, $a^{2}=pq+1$
প্রদত্ত রাশি $-px^{2}+(pq+1)xy+qy^{2}$
$=-(x+qy)(px+y)$
$=-\{x+(a+1)y\}\{(a-1)x+y\}$
প্রশ্ন ১৯: $x^{3}+3x^{2}+3x+2$
সমাধান:
$=x^{3}+3x^{2}+3x+2$
$=x^{3}+2x^{2}+x^{2}+2x+x+2$
$=x^{2}(x+2)+x(x+2)+1(x+2)$
$=(x+2)(x^{2}+x+1)$
প্রশ্ন ২০: $a^{3}-6a^{2}+12a-9$
সমাধান:
$=a^{3}-6a^{2}+12a-9$
$=a^{3}-3\cdot a^{2}\cdot2+3\cdot a\cdot2^{2}-2^{3}-1$
$=(a-2)^{3}-1$
$=(a-2)^{3}-1^{3}$
$=(a-2-1)\{(a-2)^{2}+(a-2)\cdot1+1^{2}\}$
$=(a-3)(a^{2}-4a+4+a-2+1)$
$=(a-3)(a^{2}-3a+3)$
প্রশ্ন ২১: $a^{3}-9b^{3}+(a+b)^{3}$
সমাধান:
$=a^{3}-9b^{3}+(a+b)^{3}$
$=a^{3}-b^{3}+(a+b)^{3}-8b^{3}$
$=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+(a+b)^{3}-(2b)^{3}$
$=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+(a+b-2b)\{(a+b)^{2}+(a+b)2b+(2b)^{2}\}$
$=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+(a-b)(a^{2}+2ab+b^{2}+2ab+2b^{2}+4b^{2})$
$=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+(a-b)(a^{2}+4ab+7b^{2})$
$=(a-b)(2a^{2}+5ab+8b^{2})$
প্রশ্ন ২২: $8x^{3}+12x^{2}+6x-63$
সমাধান:
$=(2x)^{3}+3(2x)^{2}\cdot1+3(2x)\cdot1^{2}+1^{3}-64$
$=(2x+1)^{3}-4^{3}$
$=(2x+1-4)\{(2x+1)^{2}+(2x+1)4+4^{2}\}$
$=(2x-3)(4x^{2}+4x+1+8x+4+16)$
$=(2x-3)(4x^{2}+12x+21)$
প্রশ্ন ২৩: $8a^{3}+\dfrac{b^{3}}{27}$
সমাধান:
$= (2a)^{3}+\left(\dfrac{b}{3}\right)^{3}$
$=(2a+\dfrac{b}{3})\left((2a)^{2}-2a\cdot\dfrac{b}{3}+\left(\dfrac{b}{3}\right)^{2}\right)$
$=(2a+\dfrac{b}{3})\left(4a^{2}-\dfrac{2ab}{3}+\dfrac{b^{2}}{9}\right)$
$=\dfrac{1}{27}(6a+b)(36a^{2}-6ab+b^{2})$
প্রশ্ন ২৪: $\dfrac{a^{6}}{27}-b^{6}$
সমাধান:
$=\left(\dfrac{a^{2}}{3}\right)^{3}-(b^{2})^{3}$
$=\left(\dfrac{a^{2}}{3}-b^{2}\right)\left(\dfrac{a^{4}}{9}+\dfrac{a^{2}b^{2}}{3}+b^{4}\right)$
প্রশ্ন ২৫: $4a^{2}+\dfrac{1}{4a^{2}}-2+4a-\dfrac{1}{a}$
সমাধান:
$=(2a)^{2}-2\cdot2a\cdot\dfrac{1}{2a}+\left(\dfrac{1}{2a}\right)^{2}+2\left(2a-\dfrac{1}{2a}\right)$
$=(2a-\dfrac{1}{2a})^{2}+2(2a-\dfrac{1}{2a})$
প্রশ্ন ২৬: $(3a+1)^{3}-(2a-3)^{3}$
সমাধান:
$=(3a+1-2a+3)\{(3a+1)^{2}+(3a+1)(2a-3)+(2a-3)^{2}\}$
$=(a+4)\{(3a)^{2}+2\cdot3a\cdot1+1^{2}+6a^{2}-9a+2a-3+(2a)^{2}-2\cdot2a\cdot3+3^{2}\}$
$=(a+4)(9a^{2}+6a+1+6a^{2}-9a+2a-3+4a^{2}-12a+9)$
$=(a+4)(19a^{2}-13a+7)$
প্রশ্ন ২৭: $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-48$
সমাধান:
$=\{(x+2)(x+5)\}\{(x+3)(x+4)\}-48$
$=(x^{2}+2x+5x+10)(x^{2}+3x+4x+12)-48$
$=(x^{2}+7x+10)(x^{2}+7x+12)-48$
ধরি, $x^{2}+7x+10=a$
তবে, $x^{2}+7x+12=a+2$
$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $=a(a+2)-48$
$=a^{2}+2a-48$
$=a^{2}+8a-6a-48$
$=a(a+8)-6(a+8)$
$=(a+8)(a-6)$
$=(x^{2}+7x+18)(x^{2}+7x+4)$
প্রশ্ন ২৮: $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)-65$
সমাধান:
$=\{(x-1)(x-7)\}\{(x-3)(x-5)\}-65$
$=(x^{2}-8x+7)(x^{2}-8x+15)-65$
ধরি, $x^{2}-8x+7=a$
তবে, $x^{2}-8x+15=a+8$
$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $=a(a+8)-65$
$=a^{2}+8a-65$
$=a^{2}+13a-5a-65$
$=a(a+13)-5(a+13)$
$=(a+13)(a-5)$
$=(x^{2}-8x+20)(x^{2}-8x+2)$
প্রশ্ন ২৯: $2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}$
সমাধান:
$=(2bc)^{2}-(-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$=\{2bc+(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\}\{2bc-(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\}$
$=(b^{2}+2bc+c^{2}-a^{2})(a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2})$
$=(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)$
প্রশ্ন ৩০: $14(x+z)^{2}-29(x+z)(x+1)-15(x+1)^{2}$
সমাধান:
ধরি, $x+z=a$ এবং $x+1=b$
তবে প্রদত্ত রাশি $=14a^{2}-29ab-15b^{2}$
$=7a(2a-5b)+3b(2a-5b)$
$=(2a-5b)(7a+3b)$
$=\{2(x+z)-5(x+1)\}\{7(x+z)+3(x+1)\}$
$=(2z-3x-5)(10x+7z+3)$
প্রশ্ন ৩১: দেখাও যে, $(x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4)$
সমাধান:
বামপক্ষ $=(x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4)$
$=\{(x+1)(3x-1)\}\{(x+2)(3x-4)\}$
$=(3x^{2}+2x-1)(3x^{2}+2x-8)$
$=$ ডানপক্ষ
$\therefore (x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4)=(3x^{2}+2x-1)(3x^{2}+2x-8)$ (দেখানো হলো)
Post a Comment