নবম-দশম শ্রেণীর গণিত ৩.২ অনুশীলনীর গাণিতিক প্রশ্নাবলির সমাধান
প্রশ্ন ১। সূত্রের সাহায্যে ঘন নির্ণয় কর:
(ক) \(2x^2+3y^2\)
সমাধান:
\[ (2x^2+3y^2)^3 \]
\[ =(2x^2)^3+3(2x^2)^2(3y^2)+3(2x^2)(3y^2)^2+(3y^2)^3 \]
\[ =8x^6+36x^4y^2+54x^2y^4+27y^6 \]
(খ) \(7m^2-2n\)
সমাধান:
\[ (7m^2-2n)^3 \]
\[ =(7m^2)^3-3(7m^2)^2(2n)+3(7m^2)(2n)^2-(2n)^3 \]
\[ =343m^6-294m^4n+84m^2n^2-8n^3 \]
(গ) \(2a-b-3c\)
সমাধান:
\[ (2a-b-3c)^3 \]
\[ =8a^3-b^3-27c^3-12a^2b-36a^2c+6ab^2 +54ac^2-9b^2c-27bc^2+36abc \]
প্রশ্ন ২। সরল কর:
(ক) \((7x+3b)^3-(5x+3b)^3-6x(7x+3b)(5x+3b)\)
সমাধান:
ধরি, \(7x+3b=p\) এবং \(5x+3b=q\)
\[ \therefore\ p-q=2x \]
\[ \Rightarrow p^3-q^3-3(p-q)pq=(p-q)^3 \]
\[ =(2x)^3=8x^3 \]
নির্ণেয় সরলফল: \(8x^3\)
(খ) \((a+b+c)^3-(a-b-c)^3-6(b+c)\{a^2-(b+c)^2\}\)
সমাধান:
ধরি, \(a+b+c=x\) এবং \(a-b-c=y\)
\[ x-y=2(b+c) \]
\[ x^3-y^3-3xy(x-y)=(x-y)^3 \]
\[ =\{2(b+c)\}^3=8(b+c)^3 \]
নির্ণেয় সরলফল: \(8(b+c)^3\)
প্রশ্ন (গ)
\((m+n)^{6}-(m-n)^{6}-12mn(m^{2}-n^{2})^{2}\)
সমাধান:
\[ (m+n)^{6}-(m-n)^{6}-12mn(m^{2}-n^{2})^{2} \]
\[ =\{(m+n)^{2}\}^{3}-\{(m-n)^{2}\}^{3}-3\cdot4mn\{(m+n)(m-n)\}^{2} \]
\[ =\{(m+n)^{2}\}^{3}-\{(m-n)^{2}\}^{3}-3\cdot4mn (m+n)^{2}(m-n)^{2} \]
ধরি, \((m+n)^{2}=p\), \((m-n)^{2}=q\)
বিয়োগ করে, \((m+n)^{2}-(m-n)^{2}=p-q=4mn\)
\[ \therefore p^{3}-q^{3}-3(p-q)pq=(p-q)^{3}=(4mn)^{3}=64m^{3}n^{3} \]
নির্ণেয় সরলফল: \(64m^{3}n^{3}\)
প্রশ্ন (ঘ)
\((x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+(y+z)(y^{2}-yz+z^{2})+(z+x)(z^{2}-zx+x^{2})\)
সমাধান:
\[ (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+(y+z)(y^{2}-yz+z^{2})+(z+x)(z^{2}-zx+x^{2}) = 2(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \]
নির্ণেয় সরলফল: \(2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\)
প্রশ্ন (ঙ)
\((2x+3y-4z)^{3}+(2x-3y+4z)^{3}+12x\{4x^{2}-(3y-4z)^{2}\}\)
সমাধান:
\[ (2x+3y-4z)^{3}+(2x-3y+4z)^{3}+3\cdot4x((2x+3y-4z)(2x-3y+4z)) \]
ধরি, \(a=2x+3y-4z\), \(b=2x-3y+4z\)
\[ a+b = 4x \]
\[ \therefore a^{3}+b^{3}+3(a+b)ab = (a+b)^{3}=(4x)^{3}=64x^{3} \]
নির্ণেয় সরলফল: \(64x^{3}\)
প্রশ্ন ৩
\(a-b=5\) এবং \(ab=36\)
সমাধান:
\[ a^{3}-b^{3} = (a-b)^{3}+3ab(a-b) \]
\[ = 5^{3} + 3 \cdot 36 \cdot 5 = 125 + 540 = 665 \]
নির্ণেয় মান: \(665\)
প্রশ্ন ৪
\(a^{3}-b^{3}=513\) এবং \(a-b=3\)
সমাধান:
\[ (a-b)^{3} = a^{3}-b^{3}-3ab(a-b) \]
\[ 3^{3} = 513 - 3ab\cdot3 \Rightarrow 27 = 513 - 9ab \Rightarrow 9ab = 486 \Rightarrow ab = 54 \]
নির্ণেয় মান: \(54\)
প্রশ্ন ৫। \(x=19\) এবং \(y=-12\) হলে, \(8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে \(x=19, y=-12\)
\[ 8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3 \]
\[ =(2x)^3+3(2x)^2(3y)+3(2x)(3y)^2+(3y)^3 \]
\[ =(2x+3y)^3 \]
\[ =(2\cdot19+3(-12))^3=(38-36)^3=2^3=8 \]
নির্ণেয় মান: \(8\)
প্রশ্ন ৬। যদি \(a=15\) হয়, তবে \(8a^3+60a^2+150a+130\) এর মান কত?
সমাধান: দেওয়া আছে \(a=15\)
\[ 8a^3+60a^2+150a+130 \]
\[ =(2a)^3+3(2a)^2\cdot5+3(2a)\cdot5^2+5^3+5 \]
\[ =(2a+5)^3+5 \]
\[ =(2\cdot15+5)^3+5=35^3+5=42875+5=42880 \]
নির্ণেয় মান: \(42880\)
প্রশ্ন ৭। যদি \(a+b=m\), \(a^2+b^2=n\) এবং \(a^3+b^3=p^3\) হয়, তবে দেখাও যে \(m^3+2p^3=3mn\)।
সমাধান:
\[ m^3+2p^3=(a+b)^3+2(a^3+b^3) \]
\[ =(a+b)\{(a+b)^2+2(a^2-ab+b^2)\} \]
\[ =(a+b)(3a^2+3b^2)=3(a+b)(a^2+b^2)=3mn \]
∴ \(m^3+2p^3=3mn\) (দেখানো হলো)।
প্রশ্ন ৮। \(a+b=3\) এবং \(ab=2\) হলে, (ক) \(a^2-ab+b^2\) এবং (খ) \(a^3+b^3\) এর মান নির্ণয় কর।
(ক) সমাধান:
\[ a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab=3^2-3\cdot2=3 \]
(খ) সমাধান:
\[ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=27-18=9 \]
প্রশ্ন ৯। \(a-b=5\) এবং \(ab=36\) হলে, (ক) \(a^2+ab+b^2\) এবং (খ) \(a^3-b^3\) এর মান নির্ণয় কর।
(ক) সমাধান:
\[ a^2+ab+b^2=(a-b)^2+3ab=25+108=133 \]
(খ) সমাধান:
\[ a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)=125+540=665 \]
প্রশ্ন ১০। \(m+\frac{1}{m}=a\) হলে, \(m^3+\frac{1}{m^3}\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ m^3+\frac{1}{m^3} \]
\[ =(m+\tfrac{1}{m})^3-3m\cdot\tfrac{1}{m}(m+\tfrac{1}{m}) \]
\[ =a^3-3a \]
নির্ণেয় মান: \(a^3-3a\)
প্রশ্ন ১১। \(x-\frac{1}{x}=p\) হলে, \(x^3-\frac{1}{x^3}\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ x^3-\frac{1}{x^3} \]
\[ =(x-\tfrac{1}{x})^3+3x\cdot\tfrac{1}{x}(x-\tfrac{1}{x}) \]
\[ =p^3+3p \]
নির্ণেয় মান: \(p^3+3p\)
প্রশ্ন ১২। যদি \(a-\frac{1}{a}=1\) হয়, তবে দেখাও যে \(a^3-\frac{1}{a^3}=4\)।
সমাধান:
\[ a^3-\frac{1}{a^3} =(a-\tfrac{1}{a})^3+3a\cdot\tfrac{1}{a}(a-\tfrac{1}{a}) \]
\[ =1^3+3\cdot1=4 \]
∴ \(a^3-\frac{1}{a^3}=4\) (দেখানো হলো)
প্রশ্ন ১৩। যদি \(a+b+c=0\) হয়, তবে দেখাও যে—
(ক) \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
(খ) \(\dfrac{(b+c)^2}{3bc}+\dfrac{(c+a)^2}{3ca}+\dfrac{(a+b)^2}{3ab}=1\)
সমাধান:
(ক)
\[ a+b=-c \]
\[ (a+b)^3=(-c)^3 \]
\[ a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \]
\[ a^3+b^3-3abc=-c^3 \]
\[ \therefore a^3+b^3+c^3=3abc \]
(খ)
\[ \frac{(b+c)^2}{3bc}+\frac{(c+a)^2}{3ca}+\frac{(a+b)^2}{3ab} \]
\[ =\frac{a^2}{3bc}+\frac{b^2}{3ca}+\frac{c^2}{3ab} =\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc} \]
\[ =\frac{3abc}{3abc}=1 \]
∴ দেখানো হলো।
প্রশ্ন ১৪। \(p-q=r\) হলে, দেখাও যে \(p^3-q^3-r^3=3pqr\)।
সমাধান:
\[ (p-q)^3=r^3 \]
\[ p^3-q^3-3pq(p-q)=r^3 \]
\[ p^3-q^3-3pqr=r^3 \]
\[ \therefore p^3-q^3-r^3=3pqr \]
(দেখানো হলো)
প্রশ্ন ১৫। \(2x-\frac{2}{x}=3\) হলে, দেখাও যে \(8\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)=63\)।
সমাধান:
\[ 8\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right) = (2x)^3-\left(\frac{2}{x}\right)^3 \]
\[ =(2x-\tfrac{2}{x})^3+3\cdot2x\cdot\tfrac{2}{x}(2x-\tfrac{2}{x}) \]
\[ =3^3+3\cdot2\cdot2\cdot3 =27+36=63 \]
∴ \(8(x^3-\frac{1}{x^3})=63\) (দেখানো হলো)
প্রশ্ন ১৬। \(a=\sqrt6+\sqrt5\) হলে, \(\frac{a^6-1}{a^3}\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
\[ \frac{1}{a}=\frac{\sqrt6-\sqrt5}{6-5}=\sqrt6-\sqrt5 \]
\[ a-\frac{1}{a}=2\sqrt5 \]
\[ \frac{a^6-1}{a^3}=a^3-\frac{1}{a^3} \]
\[ =(a-\tfrac{1}{a})^3+3a\cdot\tfrac{1}{a}(a-\tfrac{1}{a}) \]
\[ =(2\sqrt5)^3+3\cdot2\sqrt5=40\sqrt5+6\sqrt5=46\sqrt5 \]
নির্ণেয় মান: \(46\sqrt5\)
অনুশীলনীর সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন ১৭। \(x-\frac{1}{x}=\sqrt3\), যেখানে \(x\neq0\)।
ক. প্রমাণ কর যে, \(x^2-\sqrt3x=1\)
খ. প্রমাণ কর যে, \(23\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=5\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\)
গ. \(x^6+\frac{1}{x^6}\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
ক.
\[ x-\tfrac{1}{x}=\sqrt3 \Rightarrow \frac{x^2-1}{x}=\sqrt3 \Rightarrow x^2-\sqrt3x=1 \]
খ.
\[ x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\tfrac{1}{x})^2+2=3+2=5 \]
\[ x^4+\frac{1}{x^4}=5^2-2=23 \]
\[ \therefore 23(x^2+\tfrac{1}{x^2})=5(x^4+\tfrac{1}{x^4}) \]
গ.
\[ x^6+\frac{1}{x^6}=(x^2+\tfrac{1}{x^2})^3-3(x^2+\tfrac{1}{x^2}) =125-15=110 \]
নির্ণেয় মান: \(110\)
Post a Comment